Résolution d'équations : Techniques et exemples

 Chapitre 1 : Introduction aux équations

Les équations sont des expressions mathématiques qui équivalent à une égalité entre deux quantités. Les équations peuvent être résolues en isolant une variable inconnue, qui peut alors être évaluée. Les équations sont couramment utilisées dans de nombreux domaines, y compris la physique, la chimie, l'ingénierie et les mathématiques.

Exemple 1: Résoudre l'équation 2x + 5 = 11

- Tout d'abord, nous soustrayons 5 des deux côtés de l'équation pour isoler la variable x : 2x = 6

- Ensuite, nous divisons les deux côtés de l'équation par 2 pour obtenir la valeur de x : x = 3

- Ainsi, la solution de l'équation 2x + 5 = 11 est x = 3.

Chapitre 2 : Équations linéaires

Les équations linéaires sont des équations qui peuvent être représentées sous la forme ax + b = c, où a, b et c sont des constantes et x est la variable inconnue. Les équations linéaires peuvent être résolues en isolant la variable x en effectuant des opérations mathématiques simples.

Exemple 2: Résoudre l'équation 3x + 7 = 16

- Tout d'abord, nous soustrayons 7 des deux côtés de l'équation pour isoler la variable x : 3x = 9

- Ensuite, nous divisons les deux côtés de l'équation par 3 pour obtenir la valeur de x : x = 3

- Ainsi, la solution de l'équation 3x + 7 = 16 est x = 3.

Chapitre 3 : Équations quadratiques

Les équations quadratiques sont des équations qui peuvent être représentées sous la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des constantes et x est la variable inconnue. Les équations quadratiques peuvent être résolues en utilisant la formule quadratique ou en factorisant l'expression.

Exemple 3: Résoudre l'équation x² + 5x + 6 = 0

- Nous devons trouver deux nombres dont la somme est égale à 5 et dont le produit est égal à 6. Ces nombres sont 2 et 3.

- Nous pouvons donc factoriser l'équation comme suit : (x + 2)(x + 3) = 0

- En utilisant la propriété de zéro produit, nous pouvons dire que soit (x + 2) = 0 ou (x + 3) = 0.

- Ainsi, les solutions de l'équation x² + 5x + 6 = 0 sont x = -2 et x = -3.

Chapitre 4 : Équations trigonométriques

Les équations trigonométriques sont des équations qui contiennent des fonctions trigonométriques telles que le sinus, le cosinus et la tangente. Les équations trigonométriques peuvent être résolues en utilisant des techniques telles que la substitution trigonomé.

Exemple 4: Résoudre l'équation sin(x) = 1/2

- La fonction sinus est égale à 1/2 pour les angles de 30 degrés et 150 degrés dans le premier quadrant.

- Nous pouvons donc dire que x = 30 degrés ou x = 150 degrés, ainsi que x = 210 degrés ou x = 330 degrés dans les autres quadrants.

- Ainsi, les solutions de l'équation sin(x) = 1/2 sont x = 30 degrés, x = 150 degrés, x = 210 degrés et x = 330 degrés.

Chapitre 5 : Équations exponentielles

Les équations exponentielles sont des équations qui contiennent des expressions sous forme d'exponentielles. Les équations exponentielles peuvent être résolues en utilisant les propriétés des exponentielles, telles que les lois de l'exposant.

Exemple 5: Résoudre l'équation 2^x = 8

- Nous pouvons écrire 8 sous forme de puissance de 2 comme 2³.

- En égalisant les deux expressions, nous avons : 2^x = 2³

- En utilisant la propriété de l'égalité des exposants, nous avons : x = 3

- Ainsi, la solution de l'équation 2^x = 8 est x = 3.

Chapitre 6 : Équations logarithmiques

Les équations logarithmiques sont des équations qui contiennent des fonctions logarithmiques. Les équations logarithmiques peuvent être résolues en utilisant les propriétés des logarithmes, telles que les lois des logarithmes.

Exemple 6: Résoudre l'équation log(x) = 2

- Nous pouvons écrire l'équation exponentielle correspondante comme 10^2 = x.

- Ainsi, la solution de l'équation log(x) = 2 est x = 100.

Conclusion :

Les équations sont des expressions mathématiques couramment utilisées dans de nombreux domaines, y compris la physique, la chimie, l'ingénierie et les mathématiques. Les équations peuvent être résolues en isolant une variable inconnue à l'aide de différentes techniques, telles que la substitution, la factorisation, la formule quadratique, les propriétés des exponentielles et des logarithmes, et les fonctions trigonométriques.